Dynamik von Phasenoszillatoren

Diplomarbeit (1994). Institut für Theoretische Physik, Christian-Albrechts-Universität Kiel.

1 Einleitung und Überblick

Schon seit einiger Zeit beschäftigen sich Physiker mit Themen, die nach der traditionellen Definition der Physik als der "Lehre von der unbelebten Natur" nicht zur Physik gehören. Besonderes Interesse finden Themen aus der Biologie. Zum Beispiel werden Modelle des Nervensystems (Neuronale Netze), der Evolution und von Ökosystemen untersucht. Die Erfahrung hat gezeigt, daß makroskopische Phänomene die sich aus der Wechselwirkung von vielen Einzelelementen (Atome in einem Gas, Spins in einem Ferromagneten, Neuronen in einem Neuronalen Netz, Individuen in einem Ökosystem, Genotypen in der Evolution) ergeben, häufig unabhängig von den mikroskopischen Details sind. Dies rechtfertigt die starke Abstraktion, die erforderlich ist, um analytisch oder numerisch behandelbare Modelle zu erhalten. Natürlich können solche vereinfachte Modelle nicht die ganze Komplexität des Originalsystems widerspiegeln. Aber gerade dadurch kann man hoffen, zum Wesentlichen eines Phänomens vorzudringen, es zu verstehen . Bei diesen Modellen werden oft Einflüsse der Umwelt sowie Charakteristika der Einzelelemente und ihrer Wechselwirkungen durch zeitliche und räumliche Zufallsvariablen modelliert. Auf diese Weise gelangt man zu ungeordneten Systemen, für deren Behandlung u.a.~in der Theorie der Gläser, insbesondere der Spingläser, Methoden entwickelt wurden. Oszillationen sind in der Natur, aber auch in technischen Systemen allgegenwärtig. Da in biologischen und technischen Strukturen immer Dissipation vorhanden ist, können stabile Oszillationen nur durch aktive Systeme erzeugt werden. Diese weisen einen Grenzzyklus als Attraktor auf, so daß die Phasenbeschreibung auf sie anwendbar ist. In dieser Arbeit wird nicht der Mechanismus, der die Oszillationen erzeugt, sondern die Wechselwirkung zwischen solchen oszillierenden Systemen untersucht. Dieses Thema hat in letzter Zeit große Aufmerksamkeit erfahren. Es wurden Synchronisation und Desynchronisation in Populationen von Glühwürmchen, von zirpenden Grillen, Schrittmacherzellen des Herzens, pulsierenden Lasern untersucht. Besondere Beachtung fanden Oszillationen im Nervensystem, insbesondere im Gehirn, die unter anderem periodische Vorgänge wie Laufen, Atmen und Kauen steuern. In letzter Zeit kam die Vermutung auf, daß Synchronisation eine weitere sehr wichtige Rolle spielt. In neueren Forschungsarbeiten wurden Hinweise gefunden, daß das Gehirn je nach Situation einfache Merkmale zu einer Gesamtrepräsentation verbindet. Es werden jedoch gleichzeitig Sinnesreize von verschiedenen Objekten aufgenommen. Auf irgendeine Weise müssen zusammengehörige Reize gebunden und nicht zusammengehörige getrennt werden. Dies wird als "`Binding-Problem"' bezeichnet. Es besteht die Vermutung, daß diese Verknüpfung durch Synchronisations- und Desynchronisationsprozesse von Gruppen von Neuronen geschieht.
Besonders bei biologischen Systemen kommt es darauf an, stabile Oszillationen zu erzeugen, da die einzelnen Oszillatoren häufig unzuverlässig sind. Dies ist z.B. beim Herzschlag lebensnotwendig. Der Weg, den die Natur gewählt hat (und vielleicht der einzig mögliche), ist die Kopplung von vielen dieser Einzeloszillatoren. In biologischen Systemen ist jedoch die Schwankungsbreite stets relativ groß. Deshalb stellt sich die Frage, wie stark und von welcher Art die Kopplungen unter den Einzeloszillatoren sein müssen. Diese Frage wurde erstmals 1960 von Winfree behandelt. Im Jahre 1984 entwickelte Kuramoto mit Hilfe der Phasenbeschreibung ein einfaches Modell, das analytisch lösbar ist. Es zeigt in Abhängigkeit von der Wechselwirkungsstärke einen Phasenübergang von einem desynchronisierten in einen teilweise synchronisierten Zustand. Dieses Modell wird in Kapitel 10 erörtert. Den Schwerpunkt dieser Arbeit bildet ein Modell, daß sich in der Art der Wechselwirkung vom Kuramoto-Modell unterscheidet. Die Bewegungsgleichung für die Phasenvariablen lauten:

Die Wechselwirkungsstärken und die Frequenzen sollen Zufallsvariablen sein. In dieser Arbeit werden insbesondere gaußverteilte mit variabler Symmetrie betrachtet. Beide Modelle haben große formale "Ahnlichkeit mit schon zuvor in der Physik behandelten Modellen. Das Kuramoto-Modell geht beim Verschwinden der Frequenzen der Einzeloszillatoren, das heißt, wenn alle Oszillatoren exakt gleich sind, in einen XY-Ferromagneten über, während das hier behandelte Modell in ein XY-Spinglas übergeht.
Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut:
In Kapitel 1 wird die Phasenbeschreibung, auf der beide Modelle basieren, eingeführt und das in dieser Arbeit behandelte System (1.1) motiviert. Die Berücksichtigung von Zufallskräften führt zu Langevin-Gleichungen. Diese werden in Kapitel 2 dargestellt und einige Probleme im Zusammenhang mit diesen mathematisch nicht wohldefinierten Gleichungen erläutert. Auf den Langevin-Gleichungen basiert die Methode des erzeugenen Funktionals, die in Kapitel 3 ausführlich vorgestellt wird. Mit dieser Methode können Spingläser und andere ungeordnete Systeme untersucht werden. Einige für das hier untersuchte Modell relevante Konzepte und Methoden der Spinglasphysik werden in Kapitel 5 vorgestellt. In Kapitel 6 werden Konzepte der nichtlinearen Dynamik, die Ljapunowexponenten und die Kaplan-Yorke-Dimension, eingeführt. Zunächst wird die Dynamik von wenigen Oszillatoren (Kapitel 8 und Kapitel 9) analytisch und numerisch untersucht. Im Kapitel 10 und 11 wird die Methode des erzeugenen Funktionals auf das Kuramoto-Modell und auf (1) angewandt. Die Einteilchengleichung wird numerisch gelöst. Für den Fall symmetrischer Wechselwirkungen ist es jedoch günstiger, das ursprüngliche Vielteilchensystem zu untersuchen. Es zeigt wie das Kuramoto-Modell einen Phasenübergang mit der Wechselwirkungsstärke als Kontrollparameter (Kapitel 12), jedoch geht es bei wachsender Wechselwirkungsstärke sprunghaft von einem unsynchronisierten in einen vollständig synchronisierten Zustand mit Spinglasordnung über. Dies unterscheidet sich völlig von dem Verhalten des Kuramoto-Modells, wo ein kontinuierlicher Phasenübergang stattfindet. Abschließend wird in Abschnitt 13 die Dynamik des Systems in Abhängigkeit von Symmetrieparameter und Wechselwirkungsstärke dargestellt.
Die ganze Arbeit liegt in 4 Postscript-Files vor:
Jan Christopher Stiller
(stiller@theo-physik.uni-kiel.de)